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考研高數(shù)復(fù)習(xí)：微積分基本定理的證明解讀

該部分包括兩個(gè)定理：變限積分求導(dǎo)定理和牛頓-萊布尼茨公式。

變限積分求導(dǎo)定理的條件是變上限積分函數(shù)的被積函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，結(jié)論可以形式地理解為變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為把積分號(hào)扔掉，并用積分上限替換被積函數(shù)的自變量。注意該求導(dǎo)公式對(duì)閉區(qū)間成立，而閉區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)要區(qū)別對(duì)待：對(duì)應(yīng)開區(qū)間上每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是一類，而區(qū)間端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)屬單側(cè)導(dǎo)數(shù)。花開兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數(shù)在開區(qū)間上任意點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)。一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)仍用導(dǎo)數(shù)定義考慮。至于導(dǎo)數(shù)定義這個(gè)極限式如何化簡(jiǎn)，筆者就不能剝奪讀者思考的權(quán)利了。單側(cè)導(dǎo)數(shù)類似考慮。

“牛頓-萊布尼茨公式是聯(lián)系微分學(xué)與積分學(xué)的橋梁，它是微積分中較基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運(yùn)算，同時(shí)在理論上標(biāo)志著微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的。”這段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數(shù)中舉足輕重的作用。而多數(shù)考生能熟練運(yùn)用該公式計(jì)算定積分。不過，提起該公式的證明，熟悉的考生并不多。

該公式和變限積分求導(dǎo)定理的公共條件是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間連續(xù)，該公式的另一個(gè)條件是F(x)為f(x)在閉區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，結(jié)論是f(x)在該區(qū)間上的定積分等于其原函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的差。該公式的證明要用到變限積分求導(dǎo)定理。若該公式的條件成立，則不難判斷變限積分求導(dǎo)定理的條件成立，故變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論成立。

考研數(shù)學(xué)分析怎么復(fù)習(xí)？

一輪復(fù)習(xí)我開始的比較早。數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)性，其解題能力的提高，是一個(gè)長期積累的過程，因而復(fù)習(xí)時(shí)間就應(yīng)適當(dāng)提前，循序漸進(jìn)。輪復(fù)習(xí)先從復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)分析課本開始，盡量動(dòng)手解答課后習(xí)題，不懂得話可以向同學(xué)請(qǐng)教。一定做到課后題例題每一道題都親自動(dòng)手做過。一定做到了解數(shù)學(xué)分析的基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)和特點(diǎn)。比如數(shù)列極限、函數(shù)極限只是計(jì)算內(nèi)容相對(duì)比較簡(jiǎn)單，輪復(fù)習(xí)就應(yīng)該把它搞定，確保以后再遇到這類題目一定能、準(zhǔn)確的作出。

第二輪復(fù)習(xí)是在九月份，這時(shí)，數(shù)學(xué)分析課本上的東西我們大致都通讀了一遍。記得我的數(shù)學(xué)分析老師曾經(jīng)說過：讀一本書一般過程是先把一本書讀厚了，再把它讀薄了。第二階段就是把書讀薄的階段。

數(shù)學(xué)分析的推理過程需要精細(xì)的推導(dǎo)，一旦出錯(cuò)就會(huì)影響后續(xù)的計(jì)算，因此需要學(xué)生耐心細(xì)致地進(jìn)行思考和計(jì)算。另外，數(shù)學(xué)分析理論體系比較完整，需要對(duì)于各個(gè)定理和公式都有一定的掌握和運(yùn)用能力。